Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Тороидальная система координат





(


α



,


β



,


φ



)




{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\varphi )}


определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

где





c


>


0




{\displaystyle c>0}






0






α



<






,






π



<


β







π



,






π



<


φ







π





{\displaystyle 0\leqslant \alpha <\infty ,-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi }


.





α



=



c


o


n


s


t





{\displaystyle \alpha =\mathrm {const} }


торы





β



=



c


o


n


s


t





{\displaystyle \beta =\mathrm {const} }






φ



=



c


o


n


s


t





{\displaystyle \varphi =\mathrm {const} }


полуплоскости

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

Решение удобно искать в виде:

тогда уравнение для функции





v




{\displaystyle v}


:

После чего можно разделить переменные:

В результате получится система:

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.